Dia 26 Angélica Velásquez 1015619

Operaciones con conjunto

Producto cartesiano : Conjunto de pares ordenados en el que cada elemento del conjunto A es pareja de cada elemento del conjunto B.

A = {1,2,3,4}

B= {4,5,6}

AxB = {1,4  1,5  1,6

  2,4  2,5  2,6

  3,4  3,5  3,6

  4,4  4,5  4,6}

Día 25 Angélica Velásquez 1015619

Conjuntos

Hoy vimos en clase un poco de Teoría de Conjuntos. El tema, aunque muy conocido, se extendió bastante haciendo la clase un poco monótona. Sin embargo es un tema muy importante para cualquier carrera.

Podemos decir que UN CONJUNTO es una colección de objetos bien definidos por medio de propiedades en común. Y se puede escribir en cualquiera de las siguientes formas:

1. Forma tabular, enumerativa o extensiva:  A= { a, e, i, o, u }
2. Forma descriptiva: A = { x / x es una vocal }
3. Forma gráfica: 

Día 24 Angélica Velásquez 1015619

Operaciones entre Conjuntos

Unión de conjuntos.

Es la unión de los elementos de dos o mas conjuntos, formando un nuevo conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en esto se diferencia la unión de conjuntos del concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los conjuntos.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}

La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c}

, mientras que según el concepto clásico de la suma hubiésemos puesto:

A + B = d + f + g + h + b + c + d + f.

Propiedades de la unión de conjuntos:

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:

·         VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

·         AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

·         (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

Intersección de conjuntos.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).

Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: AnB = {d,f}

La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada. 

 Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente: 

1. Propiedad idempotente: VA => AnA = A

2. Propiedad conmutativa: AnB = BnA

  Propiedad asociativa: (AnB)nC = An(BnC)

Propiedades comunes a la unión y a la intersección.

  Ley de absorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: An(AUB) = A y Au(BnC)

Expongamos un ejemplo como comprobación:

A = {1, 2, 3 , 4} y B = {1, 2, 3, 6}.

Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6}

y ahora, la intersección del mismo con el conjunto

A: An(AUB) = {1, 2, 3 , 4} = A

Análogamente:

AnB = {1, 2, 3}, AU(AnB) = {1, 2, 3 , 4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A.

2. Ley distributiva. Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección: (AnC)UC = (AUC)n(BUC)

De la intersección respecto de la unión: (AUB)nC = (AnC)U(BnC)

Estas dos propiedades comunes a las dos operaciones nos indican que ambas tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía.

Diferencia de conjuntos y complementario de un conjunto con respecto a otro. 
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A - B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. Ejemplo: Si A = {a, b, j c, d, e} y B={a, b, m, n, p}, A - B ={c, d, e.}. Dicho ejemplo está representado en la figura (A) en la que se comprueba que esta diferencia no goza de la propiedad conmutativa.

Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por:

[A, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.]

Como vemos, se trata de dos conceptos similares, pero que no hay que confundir.

Día 23 Angélica Velásquez 1015619

Formas de determinar un Conjunto

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

  Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

  Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra: 

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} 

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año. 

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra

Por extensión: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meñique} 

Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano

Día 22 Angelica Velásquez 1015619

TIPOS DE CONJUNTOS

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B

Día 21 Angélica Velásquez 1015619

Teoría de Conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 26 1086419

en el dia veintiséis de estrategias de resolucion de problemas se le dio continuidad a los conjuntos utilizando mas ejemplos y distintos ejercicios para poder entender de una mejor manera el tema y no quedarnos con dudas

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 25 1086419

en el dia veinticinco de estrategias de resolucion de problemas aprendimos sobre los tipos de conjuntos los cuales son
 Intersección de conjuntos: Reunir en un solo conjunto los elementos comunes de dos o mas conjuntos.
A ∩ B = {x/x ϵ A ᴧ x ϵ B}

Diferencia de conjuntos: Elementos de un conjunto que no están en otro conjunto.

A - B = {x/x ϵ A ᴧ x ∉ B}

Diferencia simétrica: Está formada por los elementos no comunes de dos conjuntos.

A Δ B = {x/x ϵ (A-B) v  x ϵ (B-A)}

A Δ B = {x/x ϵ [(A U B) -  (B ∩ A)}

Complemento de un conjunto : Elementos que pertenecen al Universo y que no pertenecen al conjunto A.

Ac = {x/x ϵ U ᴧ x ∉ A}

Producto cartesiano : Conjunto de pares ordenados en el que cada elemento del conjunto A es pareja de cada elemento del conjunto B.

A = {1,2,3,4}

B= {4,5,6}

AxB = {1,4 1,5 1,6

2,4 2,5 2,6

3,4 3,5 3,6

4,4 4,5 4,6}

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 24 1086419

en el dia veinticuatro de estrategias de resolucion de problemas aprendimos sobre los conjuntos, y sus formas de ser expresados como tanto escrita o en forma de imagen como lo es un diagrama de Venn

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 23 1086419

en el dia veintitres de estrategias de resolucion de problemas se realizo la prueba sumativa para la que nos estuvimos preparando con varios ejercicios, no hubieron conocimientos nuevos el dia de hoy.

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 22 1086419

en el día veintidós de estrategias de resolución de problemas se realizo nuevamente un repaso de proposiciones para prepararnos para el examen sumativo, no hubieron conocimientos nuevos

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 21 1086419

en el día veintiuno de estrategias de resolución de problemas se realizo un repaso sobre las proposiciones, no hubieron conocimientos nuevos

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 20 1086419

en el veinteavo día de estrategias de resolución de problemas aprendimos sobre las leyes de morgan las cuales implican lo siguiente
Si p y q son proposiciones simples , o compuestas, entonces:
a) ¬(p ^ q) <=> (¬p v ¬q)
b) ¬(p v q) <=> (¬p ^ ¬q)

Negar una conjunción o una disyunción consiste en cambiar “v”o “^” y negar las proposiciones dadas.

Usando tablas de verdad podemos verificar que
p =>q <=> ¬p v q

Ejemplo de las leyes de Morgan:

Para negar la proposición 7 es un número primo y 30 es divisible por 5, cambiamos “y” por “o” y negamos proposiciones simples que forman el enunciado.
7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5.

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 19 1086419

en la décimo novena clase de estrategias de resolución de problemas aprendimos a hacer lo que es la proposición condicional el cual Es una proposición compuesta por proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico:
“Si… entonces…”  que se simboliza =>. p=>q
p se denomina antecedente y q se llama consecuente.

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 18 1086419

en el decimo octavo dia de estrategias de resolucion de problemas aprendimos el que son las disyunciones de dos proposiciones

LA DISYUNCIÓN
Símbolo gramatical: o
Símbolo lógico: v


La disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.
Ejemplo: Juanita, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 17 1086419

en el decimo septimo dia de Estrategias de resolucion de problemas aprendimos lo que es la "Negación de una Proposición" y "Conjunción de Dos Proposiciones"

en la negacion de las proposiciones podemos guiarnos a traves de estos ejemplos

 P: El automóvil tiene tres ruedas
~P: El automóvil  no tiene tres ruedas

  P: La universidad no tiene estudiantes
~P: La universidad tiene estudiantes

  P: El economista analiza indicadores
~P: El economista no analiza indicadores

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 16 1086419

En el decimo sexto dia de Estrategias de resolucion de problemas realizamos una investigacion en respecto a las preposiciones y sus diferentes variantes, comprendimos que las proposiciones son un enunciado o expresión de la cual podemos determinar su veracidad o falsedad, pero no ambas, es decir, puede ser verdadera o falsa.

Ejemplos
P: El número 5 es mayor que 3
Q: El número 4 es impar

Proposición simple
Enunciado o expresión que nos da solo una idea.

Ejemplos
El automóvil es verde
El sistema está programado
El mercadologo es creativo

DIA 26

Guatemala 4 de Julio del 2019

DÍA 26

Continuación tema de CONJUNTOS

El día de hoy continuamos con el tema de los conjuntos, el tema es APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS, podemos crear el conjunto universo con el conjunto A Y B o A, B Y C.

Realizamos la pagina 43 y 44

DIA 25

Guatemala 3 de Julio del 2019

DIA 25

TIPOS DE CONJUNTOS 

Unión:

El símbolo del operador de esta operación es: ∪, y es llamado copa.

 Es correspondiente a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos que pueden, partiendo de esto conformar una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido, forma parte de la junta una vez solamente; esto difiere del concepto de multiconjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.


Intersección

Diagrama de Venn que muestra la intersección de dos conjuntos A ∩ B
El símbolo del operador de esta operación es: ∩, y es llamado capa.

Sean A y B dos conjuntos, la coincidencia de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.

Disjuntividad
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuando la coincidencia de ambos es el conjunto vacío.


Diferencia

Diagrama de Venn que muestra la diferencia de dos conjuntos A \ B
El símbolo de esta operación es: \.

La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.

Complemento

Diagrama de Venn que muestra el complemento de un conjunto A
El símbolo de esta operación es: A∁, o también se suele representar con el símbolo A

Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. A=U-A


Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que muestra la diferencia simétrica de dos conjuntos A Δ B
El símbolo de esta operación es: Δ.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cual posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene


Producto cartesiano
En un conjunto los elementos están desordenados y el orden es muy importante, por ello necesitamos algún tipo de estructura diferente para representar a los elementos ordenados, de ahí salen las n-tuplas ordenadas.

Se puede decir que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y sólo si, cada elemento numerado de cada par es igual-

Ahora haciendo referencia al producto cartesiano de dos conjuntos:

El símbolo de esta operación es: ×

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto C, C = A × B, donde los pares ordenados (a,b) están formados por un primer elemento perteneciente a A y un segundo elemento perteneciente a B.

DIA 24

Guatemala 2 de Julio del 2019

DIA 24

CONJUNTOS

El día de hoy aprendimos sobre los conjuntos, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.