Dia 26 Angélica Velásquez 1015619

Operaciones con conjunto

Producto cartesiano : Conjunto de pares ordenados en el que cada elemento del conjunto A es pareja de cada elemento del conjunto B.

A = {1,2,3,4}

B= {4,5,6}

AxB = {1,4  1,5  1,6

  2,4  2,5  2,6

  3,4  3,5  3,6

  4,4  4,5  4,6}

Día 25 Angélica Velásquez 1015619

Conjuntos

Hoy vimos en clase un poco de Teoría de Conjuntos. El tema, aunque muy conocido, se extendió bastante haciendo la clase un poco monótona. Sin embargo es un tema muy importante para cualquier carrera.

Podemos decir que UN CONJUNTO es una colección de objetos bien definidos por medio de propiedades en común. Y se puede escribir en cualquiera de las siguientes formas:

1. Forma tabular, enumerativa o extensiva:  A= { a, e, i, o, u }
2. Forma descriptiva: A = { x / x es una vocal }
3. Forma gráfica: 

Día 24 Angélica Velásquez 1015619

Operaciones entre Conjuntos

Unión de conjuntos.

Es la unión de los elementos de dos o mas conjuntos, formando un nuevo conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en esto se diferencia la unión de conjuntos del concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los conjuntos.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}

La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c}

, mientras que según el concepto clásico de la suma hubiésemos puesto:

A + B = d + f + g + h + b + c + d + f.

Propiedades de la unión de conjuntos:

1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:

·         VA => A = A

2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:

·         AUB = BUA

3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:

·         (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC

Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.

El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}

ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}

Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.

Intersección de conjuntos.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos).

Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: AnB = {d,f}

La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada. 

 Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente: 

1. Propiedad idempotente: VA => AnA = A

2. Propiedad conmutativa: AnB = BnA

  Propiedad asociativa: (AnB)nC = An(BnC)

Propiedades comunes a la unión y a la intersección.

  Ley de absorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: An(AUB) = A y Au(BnC)

Expongamos un ejemplo como comprobación:

A = {1, 2, 3 , 4} y B = {1, 2, 3, 6}.

Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6}

y ahora, la intersección del mismo con el conjunto

A: An(AUB) = {1, 2, 3 , 4} = A

Análogamente:

AnB = {1, 2, 3}, AU(AnB) = {1, 2, 3 , 4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A.

2. Ley distributiva. Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección: (AnC)UC = (AUC)n(BUC)

De la intersección respecto de la unión: (AUB)nC = (AnC)U(BnC)

Estas dos propiedades comunes a las dos operaciones nos indican que ambas tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía.

Diferencia de conjuntos y complementario de un conjunto con respecto a otro. 
Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A - B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. Ejemplo: Si A = {a, b, j c, d, e} y B={a, b, m, n, p}, A - B ={c, d, e.}. Dicho ejemplo está representado en la figura (A) en la que se comprueba que esta diferencia no goza de la propiedad conmutativa.

Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por:

[A, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.]

Como vemos, se trata de dos conceptos similares, pero que no hay que confundir.

Día 23 Angélica Velásquez 1015619

Formas de determinar un Conjunto

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

  Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

  Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra: 

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} 

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año. 

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra

Por extensión: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meñique} 

Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano

Día 22 Angelica Velásquez 1015619

TIPOS DE CONJUNTOS

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B

Día 21 Angélica Velásquez 1015619

Teoría de Conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Estrategias de Resolución de Problemas Dia 26 1086419

en el dia veintiséis de estrategias de resolucion de problemas se le dio continuidad a los conjuntos utilizando mas ejemplos y distintos ejercicios para poder entender de una mejor manera el tema y no quedarnos con dudas